课程专题：矩阵理论(a)——矩阵对角化的条件汇总

课程专题-矩阵理论之矩阵对角化的条件汇总

题记：整个初等矩阵理论中要考虑最重要的事情，就是如何尽可能将矩阵化简、压缩。不论是化简为最普世的Jordan标准型，还是更为特殊的矩阵能化简为对角矩阵，以至到后续的各种矩阵分解，都是在研究这一问题。

引入

1. 定义了特征值，特征向量，特征多项式，特征子空间，相似变换等概念(自我回顾一下)。一些比较重要的性质（常识）

• （包括多重次数的特征值），
• 相似矩阵的特征值相同；但特征值相同不一定相似，因为两个矩阵特征值对应的特征子空间不一定一样。
• 属于不同特征值的特征向量必不可能相同;进一步，属于不同特征值的特征向量必线性无关。
• , , (若可逆)特征值分别是 , ,
• 实矩阵的特征值/特征向量有可能是复数，因此特征子空间的数域一般定义在复数上
• 特征子空间：特征子空间本质上是 的解空间(除0以外)，若 和 都是 的属于 的特征向量，则 ()也是属于 的特征向量。

2. 矩阵理论中为了更便捷地研究(玩耍)，引入了零化多项式和最小多项式的概念。

条件

1. 阶矩阵可对角化的充分必要条件：
   • 矩阵有个线性无关的特征向量(原理：这个线性无关的特征向量正好构成了相似变换的可逆矩阵)
   • 每个特征值的几何重数=代数重数(通常几何重数<=代数重数)(原理：从Jordan标准型上直观的来解释一下，代数重数是Jordan标准型对角线上总共出现的次数，几何重数(特征子空间的维数)是特征值为 的Jordan块 的块数，每一块对应一个特征子空间的基向量，块之间阶数不一样对应基向量之间是线性无关的。若代数重数=几何重数，则每个Jordan块大小为1，退化为对角矩阵) ？
2. 阶矩阵的最小多项式没有重根
   • 零化多项式：特征多项式f()肯定是满足
   • 是的特征值充要条件：最小多项式
   • 相似矩阵有相同的最小多项式
   • 分块对角矩阵的最小多项式是各块最小多项式的最小公倍式(对照分块对角阵的特征多项式= 各块最小多项式的乘积)