课程笔记：矩阵理论(1)——线性代数知识回顾(下)

📚书籍：《矩阵理论与应用》张跃辉 Chap 1

相似矩阵

1. 是方阵(所有有关特征值和特征响亮的讨论是对方阵而言的)

则称是属于特征值 的 上的特征向量

特征多项式

由于,若有满足该等式的 值，则必为降秩矩阵(奇异矩阵)，故记 成为特征多项式。

谱半径：数值(复数模长)最大的特征值

从几何上看，所有的特征值都落在以原点为圆心，谱半径 为半径的圆盘内

矩阵的特征值 的特征子空间：给定 后 这个齐次方程的解空间，记为 。该解空间的维度 称为特征值 的几何重数

代数重数：将特征多项式因式分解后， ，每个特征值的对应的

任何特征值的几何重数不会超过其代数重数

特征值的性质

3. 可逆 0不是其特征值
4. 是 的特征值，则 是 的特征值，特征向量不变
5. 设 可逆，其特征多项式为 , 也是特征值，而且对应特征向量不变
6. 相似矩阵具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值

特征向量的性质

1. 属于不同特征值的特征向量线性无关
2. 可以对角化 有 个线性无关的特征向量 有一组由 特征向量组成的基** (Que?)

对角化主定理

一个 阶矩阵可以对角化 矩阵的每个特征值代数重数与几何重数相等

1.特别地，若矩阵有 个不同的特征值，则可以对角化
2.实对称矩阵一定可以正交化。而且对于一个实对称矩阵 , 存在正交矩阵 ，使得 ,即通过正交变换变成对角阵， 正交相似于对角阵。

Note: 此处要填坑，系统复习一下相似矩阵那一章的证明

矩阵分解

满秩分解

任何一个矩阵都可以被分解为列满秩矩阵 行满秩矩阵。

E.g. 一个比较简单的求解方法是，把 搞成一个Hermitte标准形，这样 直接可以得出结果：取矩阵 的前 列即可。

LU分解

奇异值(SVD)分解

线性空间

1. 回顾加群(Abel群)

• 封闭性
• 结合律
• 交换律
• 有单位元(0元)
• 有逆元(-a)

2. 线性空间的直观理解： 是一个加群，定义数域 上的数乘运算，则 是 上的一个线性空间。 叫做基域。 是 的一个线性空间(有限维度的一个线性空间)

   例如，上的所有连续函数，则 是一个线性空间(无穷维度)(有泛函的观点了，只要是线性无关的函数就能构成一组基底)。

   例如，矩阵加法和数乘能构成一个线性空间，其一组基为全体基础矩阵。特别地，全体 阶方阵组成维线性空间；全体 阶矩阵，即全体维向量，构成了上的一个维线性空间，其一组基由所有的标准向量组成即

3. 线性空间的基向量定义：若 中存在个线性无关的向量，使得 中任意向量都与他们线性相关，则称是线性空间。

4. V中任意向量均能唯一的表为的线性组合，，则称为向量关于基的坐标。

   线性空间的基一般不唯一，但线性空间的维数是唯一确定的。所以不同基向量包含的向量个数相同。

5. 基扩充定理:

6. 过渡矩阵：设维线性空间的一组基与另一组基如果存在如下关系:

   所以可见，每个列向量 都是 的线性组合，组合系数由列向量控制。

内积空间

1. 背景：内积的引入和“长度“有关。在线性空间中引入内积的概念，衡量两个向量的“远近”。如果内积归一化后，就是通过两个单位向量的夹角来衡量两个向量的距离。

2. 内积空间：设上的线性空间，若对中的任意两个向量，都定义了中的一个数,使得满足

   • (共轭对称性)

   • (正定性）

   • (双线性) (共轭双线性)

     则称其为内积空间。

3. 内积与范数性质

   比较重要的且容易忘记的，Cauchy-Schwards不等式， 三角不等式

4. 内积的作用：从代数上，两个向量的角度，两个向量在线性空间中的距离都可以由内积来定义。有了角度和长度，从几何上更好解释向量之间的位置关系。比如两个向量正交是垂直(角度90°)，实数域的线性空间上两个向量线性相关当且仅当夹角为0或。

5. Gram-Schmidt正交化方法: 已知线性无关组,求标准正交组

   几何意义：再求第个标准正交基时，投影到个标准正交基构成的”超平面“上的投影等于其在各个分量上的投影向量之和。所以减去后自然就与正交，最后再单位化。

6. 酉矩阵, 在实数域上就是正交矩阵。该矩阵的每个行(列)向量两两正交，且为单位向量。正交矩阵的集合意义几乎就是旋转变换，利用正交矩阵做旋转变换可以去掉二次型中的交叉项，变成标准形式。

   

参考文献

1. 《线性代数》 第二版 居余马 清华大学出版社 ↩︎
2. 《矩阵理论与应用》 张跃辉 上海交通大学出版社 ↩︎